作为函数极限的一个应用, 我们讨论曲线的渐近线问题. 由平面解析几何知道, 双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1a2x2​−b2y2​=1 有两条渐近线 xa±yb=0\frac{x}{a} \pm \frac{y}{b}=0ax​±by​=0 (图 3-7).一般地, 曲线的渐近线定义如下.

定义 4

若曲线 CCC 上的动点 PPP 沿着曲线无限地远离原点时, 点 PPP 与某定直线 LLL 的距离趋于 0 , 则称直线 LLL 为曲线 CCC 的渐近线 (图 3-8). 下面我们讨论曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在什么条件下存在斜渐近线 y=kx+by=k x+by=kx+b与垂直渐近线 x=x=x= x0x_{0}x0​, 以及怎样求出渐近线方程.

现假设曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 有斜渐近线 y=kx+by=k x+by=kx+b. 如图 3-8 所示, 曲线上动点 PPP到渐近线的距离为

∣PN∣=∣PMcos⁡α∣=∣f(x)−(kx+b)∣11+k2.|P N|=|P M \cos \alpha|=|f(x)-(k x+b)| \frac{1}{\sqrt{1+k^{2}}} .∣PN∣=∣PMcosα∣=∣f(x)−(kx+b)∣1+k2

​1​.

按渐近线的定义, 当 x→+∞x \rightarrow+\inftyx→+∞ 时① ∣PN∣→0|P N| \rightarrow 0∣PN∣→0, 即有

lim⁡x→+∞[f(x)−(kx+b)]=0,\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(k x+b)]=0,x→+∞lim​[f(x)−(kx+b)]=0,

①对于 x→−∞x \rightarrow-\inftyx→−∞ 或 x→∞x \rightarrow \inftyx→∞ 的情形,也有相应的结果.

或

lim⁡x→+∞[f(x)−kx]=b(3)\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}[f(x)-k x]=b \quad\quad(3)x→+∞lim​[f(x)−kx]=b(3) 又由

lim⁡x→+∞[f(x)x−k]=lim⁡x→+∞1x[f(x)−kx]=0⋅b=0,\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{f(x)}{x}-k\right]=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}[f(x)-k x]=0 \cdot b=0,x→+∞lim​[xf(x)​−k]=x→+∞lim​x1​[f(x)−kx]=0⋅b=0,

得到 lim⁡x→+∞f(x)x=k(4)\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=k \quad\quad(4)x→+∞lim​xf(x)​=k(4)

由上面的讨论可知：

若曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 有斜渐近线 y=kx+by=k x+by=kx+b, 则常数 kkk 与bbb 可相继由 (4) 式和 (3) 式来确定;

反之, 若由 (4)、(3) 两式求得 kkk 与bbb, 则可知 ∣PN∣→0(x→|P N| \rightarrow 0(x \rightarrow∣PN∣→0(x→ +∞)+\infty)+∞), 从而y=kx+by=k x+by=kx+b 为曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的渐近线.

若函数 fff 满足 lim⁡x→x0f(x)=∞( 或 lim⁡x→x0+f(x)=∞,lim⁡x→x0−f(x)=∞)，\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\infty \quad\left(\text { 或 } \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\infty, \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=\infty\right) ，x→x0​lim​f(x)=∞( 或 x→x0+​lim​f(x)=∞,x→x0−​lim​f(x)=∞)， 则按渐近线的定义可知, 曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 有垂直于 xxx 轴的渐近线 x=x0x=x_{0}x=x0​,称为垂直渐近线.

例 6

求曲线 f(x)=x3x2+2x−3f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+2 x-3}f(x)=x2+2x−3x3​ 的渐近线. 解 由 (4) 式 f(x)x=x3x3+2x2−3x→1(x→∞),\frac{f(x)}{x}=\frac{x^{3}}{x^{3}+2 x^{2}-3 x} \rightarrow 1 \quad(x \rightarrow \infty),xf(x)​=x3+2x